Aplikasi Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan matematika, khususnya yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan kuadrat. Untuk menyelesaikan masalah tersebut ada beberapa tahapan, secara umum tahapan tersebut adalah:

1. Mengubah besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel sistem persamaan.
2.  Rumuskan sistem pertidaksamaan.
3. Tentukan penyelesaian dari model matematika tersebut.

Untuk lebih memahami berikut adalah masalah yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel.

Contoh:

Diketahui S = penawarn, D = permintaan, P = harga keseimbangan, maka tentukan daerah dimana penawaran lebih tinggi dibanding permintaan (𝑆 > 𝐷) dari fungsi permintaan 𝑆 = 𝑃² + 2𝑃 − 3 dan penawaran 𝐷 = 9 − 𝑃².

Solusi:

1. Mengubah besaran ke dalam bentuk variabel

    Dimisalkan daerah penyelesaian adlah 𝑦, maka 𝑆 > 𝑦 > 𝐷

    Dimisalkan 𝑃 = 𝑥, maka diperoleh pertidaksamaan

     𝑦 < 𝑥² + 2𝑥 − 3

     𝑦 > 9 − 𝑥²

2. Menyususn bentuk system pertidaksamaan 

    Dari pertidaksamaan yang tebentuk dapat dibuat system pertidaksamaan sebagai berikut:

      𝑦 < 𝑥² + 2𝑥 − 3

        𝑦 > 9 − 𝑥²

3. Mencari daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 

    Langkah pertama yang dilakukan adalah menggambar grafik 𝑦 = 𝑥² + 2𝑥 − 3                  kemudian menggambar grafik 𝑦 = 9 − 𝑥².

        1.      Langkah 1

              Menggambar grafik 𝑦 = 𝑥² + 2𝑥 − 3

               a.       𝑦 = 𝑥² + 2𝑥 − 3 → 𝑎 = 1 > 0 maka parabola membuka bagian atasnya.

               b.      Menemukan titik potong grafik terhadap sumbu 𝑥

𝑦 = 0

𝑥² + 2𝑥 − 3 = 0 (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) = 0

𝑥₁ = −3 ; 𝑥₂ = 1

Diperoleh titik (−4, 0) dan (1, 0).

               c.     Menemukan titik potong grafik terhadap sumbu 𝑦

𝑥 = 0

𝑦 = 𝑥² + 2𝑥 − 3 = 0 − 3 = −3

Diperoleh titik (0, −3)

               d.     Uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian dari

               Diambil sembarang titik (0,0) kemudian diuji apakah titik                                                     tersebut  memenuhi   pertidaksamaan 𝑦 < 𝑥² + 2𝑥 − 3.

Titik (0,0)

𝑦 = 0

𝑥 = 0 → 𝑥² + 2𝑥 − 3 = 0² + 2 ∙ 0 − 3 = 0 + 0 − 3 = −3

Diperoleh 0 > −3 → 𝑦 > 𝑥² + 2𝑥 − 3 tidak memenuhi 𝑦 < 𝑥² + 2𝑥 − 3

Daerah penyelesaian dari 𝑦 < 𝑥² + 2𝑥 − 3 dapat digambarkan pada grafik berikut,

2.      Langkah 2

Menggambar grafik 𝑦 = 9 − 𝑥²

a.       𝑦 = 9 − 𝑥² → 𝑎 = −1 > 0 maka parabola membuka bagian bawahnya.

b.      Menemukan titik potong grafik terhadap sumbu 𝑥

𝑦 = 0

9 − 𝑥² = 0 

(3 + 𝑥)(3 − 𝑥) = 0

𝑥₁ = −3 ; 𝑥₂ = 3

Diperoleh titik (−3, 0) dan (3, 0).

c.       Menemukan titik potong grafik terhadap sumbu 𝑦

𝑥 = 0

𝑦 = 9 − 𝑥² = 9 − 0 = 9

Diperoleh titik (0,9)

d.      Uji titik untuk mnentukan daerah penyelesaian dari 𝑦 > 9 − 𝑥².

Diambil sembarang titik (0,0) kemudian diuji apakah titik tersebut memenuhi pertidaksamaan 𝑦 ≤ 9 − 𝑥².

Titik (0,0)

𝑦 = 0

𝑥 = 0 → 9 − 𝑥² = 9 − 0² = 9 − 0 = 9

Diperoleh 0 < 9 → 𝑦 < 9 − 𝑥² tidak memenuhi 𝑦 > 9 − 𝑥²

Daerah penyelesaian dari 𝑦 > 9 − 𝑥² dapat digambarkan pada grafik berikut,

3.   Langkah 3

Menentukan titik potong antara kedua grafik.

𝑥² + 2𝑥 − 3 = 9 − 𝑥²

𝑥² + 2𝑥 − 3 − 9 + 𝑥² = 0

2𝑥² + 2𝑥 − 12 = 0

𝑥² + 𝑥 − 6 = 0 

(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0

𝑥₁ = −3 ; 𝑥₂ = 2

𝑥 = −3 → 𝑦 = 9 − 𝑥² = 9 − (−3)² = 9 − 9 = 0 → (−3,0)

𝑥 = 2 → 𝑦 = 9 − 𝑥² = 9 − 2² = 9 − 4 = 5 → (2,5)

Jadi titik potong kedua grafik adap pada titik (−3,0) dan (2,5).

    4.      Langkah 4

            Menggabungkan kedua grafik pada satu bidang cartesius yang sama. Daerah yang tidak terarsir adalah daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan